ข้อสังเกตลำดับเลขคณิต

4.ข้อสังเกตลำดับเลขคณิต

4.1ความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ต่างๆของลำดับเลขคณิต

สังเกตความสัมพันธ์ระหว่างลำดับเลขคณิตพจน์ที่ n กับพจน์อื่นๆดังนี้ 

a_n = a₁  + (n-1)d  = a₂  + (n-2)d = a₃ + (n-3)d =… a_x  + (n-x)d

  

4.2การหาจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณิต

4.3การหาจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณิตโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

4.4การหาพจน์กลางของลำดับเลขคณิตที่มีอยู่ 3พจน์

กำหนดให้ x,A,y เป็นลำดับเลขคณิต

            

วิธีนี้ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับกรณีลำดับเลขคณิตที่มีจำนวนพจน์เป็นจำนวนคี่ โดยหาพจน์ทั้งหมดจากค่าพจน์กลาง เช่น

ลำดับ 7,a,b,c,43 เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว       

ดังนั้น ลำดับนี้ คือ 7,16,25,34,43 โดยมีค่าผลต่างร่วมเป็น 9

4.5การหาพจน์ที่อยู่ระหว่าง 2พจน์ใดๆของลำดับเลขคณิต เมื่อทราบจำนวนพจน์

เมื่อทราบพจน์แรก, พจน์สุดท้าย และทราบว่าระหว่างพจน์แรกและพจน์สุดท้ายมีจำนวนลำดับเท่าใด สามารถหาลำดับทั้งหมด โดยอาศัยหลักการดังนี้

1.หาผลต่างร่วม (d) ให้ได้ก่อน เช่น ถ้าพจน์แรกเป็นx พจน์สุดท้ายเป็นy ของลำดับเลขคณิต โดยมีจำนวนพจน์ที่อยู่ระหว่างพจน์แรกและพจน์สุดท้ายจำนวน k พจน์

x , 1 , 2 , 3 , ... , k , y

ดังนั้น จำนวนพจน์ทั้งหมดจะเป็น k+2 พจน์

หรือกล่าวได้ว่า ช่วงว่างระหว่างพจน์ต่างจะมี k+1ช่วง ดังนั้น จึงหาระยะช่วงว่างได้จาก ผลต่างของพจน์แรกกับพจน์สุดท้ายหารด้วยจำนวนช่วงว่าง

2.เมื่อทราบ d แล้ว สามารถนำไปหาพจน์ทุกพจน์ของลำดับเลขคณิตได้ โดย 

x , x+d , x+2d , x+3d , ... , y

4.6การสร้างพจน์ของลำดับเลขคณิตแบบสมมาตร

ในกรณีที่เราต้องสมมติลำดับเลขคณิตขึ้นมา 1 ชุด เพื่อใช้ในการคำนวณต่างๆ การสมมติต้องอาศัยหลักการสมมาตร เพื่อให้การแทนค่าที่เกิดขึ้นมีการหักล้างของตัวแปรบางตัวหมดไปได้ โดยมีหลักการสมมติตัวแปรดังนี้ 

1.ถ้าลำดับที่กำหนดมีจำนวนพจน์เป็นจำนวนคี่ ให้สมมติลำดับเลขคณิตที่มีพจน์กลางเป็น a

... , a-3d , a-2d , a-d , a , a+d , a+2d , a+ 3d ,...

เมื่อ a เป็นค่าคงตัวที่เป็นพจน์กลาง ซึ่งไม่ใช่พจน์ที่1 และ d เป็นผลต่างร่วม

2.ถ้าโจทย์กำหนดให้จำนวนพจน์เป็นจำนวนคู่ ให้สมมติลำดับเลขคณิตคู่พจน์กลางเป็น a-d และ a+d

... , a-5d , a-3d , a-d , a+d , a+3d , a+ 5d ,...

เมื่อ a เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่พจน์ที่ 1 และ 2d เป็นผลต่างร่วม

4.7การใช้ลำดับเลขคณิตหาสูตรเงินรวมที่คิดดอกเบี้ยคงต้น

ลงทุน P บาท อัตราดอกเบี้ย i ต่องวด นาน n งวด

งวดที่ 1 เงินต้น P บาท ดอกเบี้ยสะสม Pi บาท เงินรวม P+Pi บาท

งวดที่ 2 เงินต้น P บาท ดอกเบี้ยสะสม 2Pi บาท เงินรวม P+2Pi บาท

งวดที่ 3 เงินต้น P บาท ดอกเบี้ยสะสม 3Pi บาท เงินรวม P+3Pi บาท

.

.

.

งวดที่ n เงินต้น P บาท ดอกเบี้ยสะสม Pi บาท เงินรวม P+nPi บาท

ลำดับของเงินรวม คือ P+Pi,P+2Pi,P+3Pi,...,P+nPi เป็นลำดับเลขคณิต

ถ้า S เป็นเงินรวมที่ได้จากการคิดดอกเบี้ยแบบคงต้นในอัตรา i ต่องวด นาน n งวด คือ พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต จะได้ 

S      =       P+nPi

          =      P(1+ni)