ลำดับ (Sequence)
1.ลำดับ (Sequence)
ลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกโดยที่
ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก เรียกว่า ลำดับจำกัด
ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกไม่จำกัดจำนวน เรียกว่า ลำดับอนันต์
ตัวอย่าง
ฟังก์ชัน f={(1,5),(2,10),(3,15)} มีโดเมนเป็น {1,2,3}เป็นลำดับจำกัด
ฟังก์ชัน g={(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10),...} มีโดเมนเป็น {1,2,3,4,5,...}เป็นลำดับอนันต์
ฟังก์ชัน h={(0,4),(1,5),(3,7)} มีโดเมนเป็น {0,1,3} แต่ไม่เป็นลำดับ
ถ้า f เป็นลำดับใดๆ จะเขียนลำดับได้เป็น
f =
{(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3)),...,(n,f(n))}
แต่ทั่วไปนิยมเขียนลำดับในรูปค่าฟังก์ชัน เรียงกันเป็น f(1),f(2),f(3),...,f(n),...
และ เรียกค่า f(1)ว่า พจน์ที่1 ของลำดับ
เรียกค่า f(2)ว่า พจน์ที่2ของลำดับ
เรียกค่า f(3)ว่า พจน์ที่3ของลำดับ
.
.
.
เรียกค่า f(n)ว่า พจน์ที่nหรือพจน์ทั่วไปของลำดับ
พจน์ทั่วไปของลำดับ (พจน์ที่ n) จะอยู่ในรูปสมการที่แสดงถึงกฎเกณฑ์ที่ใช้ในการจับคู่กัน ระหว่างค่าของโดเมนกับค่าของเรนจ์ของแต่ละคู่อันดับที่อยู่ในฟังก์ชัน เช่น
f(n) = 2n+1
จะได้ f(1) = 2(1)+1 =3
f(2) = 2(2)+1
=5
f(3) =
2(3)+1 =7
.
.
.
ซึ่งจะทำให้ได้ลำดับที่เขียนในรูปของฟังก์ชัน f แบบแจกแจงสมาชิกได้เป็น
f =
{(1,3),(2,5),(3,7),...,(n,2n+1),...}
หรือเขียนในรูปค่าของฟังก์ชันเรียงกันเป็น 3,5,7,...,2n+1,...
หรือเขียนลำดับในรูปแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต เช่น
นิยมใช้สัญลักษณ์
an
แทนf(n)
ถ้า an เป็นลำดับจำกัด เขียนแทน a(1),a(2),a(3),...,a(n) ด้วย a1,a2,a3,…,an
ถ้า an เป็นลำดับอนันต์ เขียนแทน a(1),a(2),a(3),...,a(n) ด้วย a1,a2,a3,…,an…
เมื่อเรามีลำดับแบบแจกแจง สามารถเขียนให้อยู่ในรูปพจน์ทั่วไปได้ โดยหลักการพิจารณาหารูปพจน์ทั่วไป คือ การเขียนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน เพื่อให้ได้ an เป็นตัวแทนของพจน์ทุกพจน์ในอันดับ นั่นคือ เมื่อแทนค่า n=1 ลงไปใน an ก็จะได้ค่าของ a1 เมื่อแทนค่า n=2 ลงไปใน an ก็จะได้ค่า a2 และหา a1,a2,a3,… แบบเดียวกันนี้ได้ต่อไป
เช่น ลำดับจำกัด 2,4,6,8,10,...,50 หรือ 2(1),2(2),2(3),...,2(25) เขียนในรูปพจน์ทั่วไป พร้อมระบุสมาชิกในโดเมน ได้เป็น
an = 2n เมื่อ n = 1,2,3,...,25
ลำดับอนันต์ 5,10,15,20,25,...,5n,... เขียนในรูปพจน์ทั่วไปได้เป็น an=5n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
ในกรณีที่ลำดับถูกกำหนดโดยพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ระบุสมาชิกในโดเมน ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็นลำดับอนันต์
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น