sequences and geometric series

แบบทดสอบ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. เฉลย       1.ง   2.ง    3.ค    4.ข    5.ก    6.ค    7.ข    8.ค    9.ค    10.ก 11.ข    12.ข    13.ก    14.ค    15.ง    16.ค    17.ข    18.ค    19.ก    20.ก

12. อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมที่เกิดจากลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต นั่นคือ ถ้า a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว a 1 +a 2 +a 3 +…+a n จะเป็นอนุกรมเรขาคณิต กำหนดให้ S n แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต จะได้      ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

11.ข้อสังเกตอนุกรมเลขคณิต การหาค่า S n โดยตัวกลางเลขคณิต ตัวอย่าง 1.จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30 .

10.อนุกรมเลขคณิต อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต นั่นคือ ถ้า a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n   เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว  a 1 +a 2 +a 3 +…+a n     จะเป็นอนุกรมเลขคณิต กำหนดให้  S n  แทนผลบวก  n  พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต จะได้ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

9.การหาพจน์ที่  n  ของอนุกรม เมื่อกำหนด  S n  ให้ จาก ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ n(a n ) ของอนุกรม เมื่อกำหนด  S n ของอนุกรมต่อไปนี้  

8.อนุกรม ผลบวกของพจน์ของลำดับ เรียกว่า อนุกรอนุกรมที่เกิดจากลำดับจำกัดเรียกว่า อนุกรมจำกัด   ถ้า a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n เป็นลำดับจำกัด อนุกรมของลำดับนี้คือ a 1 +a 2 +a 3 +…+a n เขียนแทนด้วย S n โดย เรียก ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม ว่าพจน์ที่ 3 ของอนุกรม . . . ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม อนุกรมที่เกิดจากลำดับอนันต์เรียกว่า อนุกรมอนันต์ ถ้า a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,… เป็นลำดับอนันต์ จะได้ว่า อนุกรมของลำดับนี้คือ a 1 +a 2 +a 3 +…+a n +.... เขียนแทนด้วย S ∞ แบบฝึกหัด จงเขียนอนุกรมจากลำดับที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1.    a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5                                ตอบ............................................................................... 2.  3,5,7,9,11,13,15                             ตอบ...............................................................................        3. -14,-11,-8,-5,-2,1,4                          ตอบ............................................................................... 4. 3,3

7.ลำดับฮาร์มอนิก( Harmonic Sequence) ลำดับฮาร์มอนิก หมายถึง ลำดับซึ่งแต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของลำดับเลขคณิต นั่นคือ   ถ้า a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว เป็นลำดับฮาร์มอนิก   พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต คือ a n = a 1  + (n-1)d  ดังนั้น พจน์ที่ n ของลำดับฮาร์มอนิกคือ ถ้า a,H,b เป็นลำดับฮาร์มอนิกแล้ว เป็นลำดับเลขคณิต  จะได้

6.ข้อสังเกตลำดับเราขาคณิต 6.1ความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ต่างๆ ของลำดับเรขาคณิต สังเกตความสัมพันธ์ระหว่างลำดับเรขาคณิตพจน์ที่  n  กับพจน์อื่นๆ ดังนี้   6.2การหาพจน์กลางของลำดับเรขาคณิตที่มี 3 พจน์ การหาพจน์กลางของลำดับเรขาคณิต หรือตัวกลางเรขาคณิต กำหนดให้  x,G,y  เป็นลำดับเรขาคณิต จาก จะเห็นว่า 1 ถ้า x,G,y เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว xy>= 0 เสมอ 2 พจน์กลางของลำดับเรขาคณิต จะมีค่าเป็นไปได้ 2 ค่า 6.3การหาพจน์ที่อยู่ระหว่าง 2 พจน์ใดๆ ของลำดับเรขาคณิต เมื่อทราบจำนวนพจน์ เมื่อทราบพจน์แรก , พจน์สุดท้าย และทราบว่าระหว่างพจน์แรกและพจน์สุดท้ายมีจำนวนลำดับเท่าใดสามารถหาลำดับทั้งหมด โดยอาศัยหลักการดังนี้   1. หาอัตราส่วนร่วม( r)   ให้ได้ก่อน เช่น พจน์แรกเป็น  x   และพจน์สุดท้ายเป็น  y   ของลำดับเรขาคณิต โดยมีจำนวนพจน์ที่อยู่ระหว่างพจน์แรกและพจน์สุดท้ายจำนวน  k   พจน์ x , 1 , 2 , 3 , … , k , y ดังนั้นจำนวนพจน์ทั้งหมดจะเป็น  k+2  พจน์(รวม  x  และ  y  ด้วย) จาก หรือกล่าวได้ว่า ช่วงระหว่างพจน์ต่างจะมี k+1 ช่วง ดังนั้น จึงหาระยะช่วงว่างได้จาก รากที่ข

5.ลำดับเรขาคณิต( Geometric sequence) ลำดับเลขาคณิต คือ ลำดับซึ่งอัตราส่วนของสองพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงตัวเสมอ เรียกค่าคงตัวว่า อัตราส่วนร่วม( Commom ratio) เขียนแทนด้วย r นั่นคือ   a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n เป็นลำดับเรขาคณิต ก็ต่อเมื่อ   ลำดับ 1 ,2,4,8,16,32,…  เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี a 1   =1   และ r =2 ลำดับ 3 ,30,300,3000,30000,…  เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี a 1 =3   และ r =10 ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ จะเห็นว่า สิ่งสำคัญในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือ a 1   และ r

4.ข้อสังเกตลำดับเลขคณิต 4.1ความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ต่างๆของลำดับเลขคณิต สังเกตความสัมพันธ์ระหว่างลำดับเลขคณิตพจน์ที่  n  กับพจน์อื่นๆดังนี้   a n = a 1   + (n-1)d   = a 2   + (n-2)d = a 3 + (n-3)d =… a x   + (n-x)d     4.2การหาจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณิต 4.3การหาจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณิตโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ 4.4การหาพจน์กลางของลำดับเลขคณิตที่มีอยู่  3 พจน์ กำหนดให้  x,A,y  เป็นลำดับเลขคณิต              วิธีนี้ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับกรณีลำดับเลขคณิตที่มีจำนวนพจน์เป็นจำนวนคี่   โดยหาพจน์ทั้งหมดจากค่าพจน์ กลาง   เช่น ลำดับ  7,a,b,c,43  เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว         ดังนั้น   ลำดับนี้   คือ  7,16,25,34,43  โดยมีค่าผลต่างร่วมเป็น  9 4.5การหาพจน์ที่อยู่ระหว่าง  2 พจน์ใดๆของลำดับเลขคณิต   เมื่อทราบจำนวนพจน์ เมื่อทราบพจน์แรก ,  พจน์สุดท้าย   และทราบว่าระหว่างพจน์แรกและพจน์สุดท้ายมีจำนวนลำดับเท่าใด   สามารถหาลำดับทั้งหมด   โดยอาศัยหลักการดังนี้ 1. หาผลต่างร่วม (d) ให้ได้ก่อน   เช่น   ถ้าพจน์แรกเป็น x  พจน์สุดท้าย